ทฤษฎี สูตร ของฟิสิกส์

ทฤษฎีต่างๆของฟิสิกส์

การแปลงฟูรีเย

การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง

โดยปกติแล้วคำ "การแปลงฟูรีเย" จะใช้หมายถึง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชัน f (t) ที่สามารถหาปริพันธ์ของกำลังสองได้ ด้วยผลบวกของ ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ซึ่งมี ความถี่เชิงมุม ω และ ขนาด (หรือ แอมปลิจูด) เป็นจำนวนเชิงซ้อน F (ω) ;

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .$

ความสัมพันธ์ด้านบนคือ การแปลงกลับของ การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง (Inverse Fourier transform) ส่วนการแปลงฟูรีเยนั้นปกติจะเขียน F (ω) ในรูปของ f (t) คู่ของ ฟังก์ชันดั้งเดิม และ ผลของการแปลงของฟังก์ชันนั้น บางครั้งก็เรียก คู่ของการแปลง (transform pair) ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ภาคขยายของการแปลงนี้คือ การแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม (fractional Fourier transform) ซึ่งค่ายกกำลังของการแปลง (จำนวนการแปลงซ้ำ) นั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม สามารถเป็นค่าจำนวนจริงใดๆ

เมื่อ f (t) เป็น ฟังก์ชันคู่ (ฟังก์ชันคี่) เทอม ไซน์ (โคไซน์) จะไม่ปรากฏ ซึ่งคงเหลือไว้แต่ การแปลงโคไซน์ และ การแปลงไซน์ ตามลำดับ อีกกรณีหนึ่งคือ เมื่อ f (t) เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะทำให้ F(−ω) = F (ω) ^*

อนุกรมฟูรีเย

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องนั้นเป็นภาคขยาย ของแนวความคิดที่เกิดก่อนหน้านั้น คือ อนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันคาบ (หรือฟังก์ชัน ในโดเมนจำกัด) f (x) (มีคาบ 2π) ด้วย อนุกรม ของฟังก์ชันรูปคลื่น:

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},$

ซึ่ง $F_{n}$ เป็น ค่าจำนวนเชิงซ้อนของขนาด หรือ ค่าจริงของขนาดเมื่อ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริง อนุกรมฟูรีเยยังอาจเขียนในรูป:

$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right],$

โดย a_n และ b_n เป็นค่าจำนวนจริงของขนาด ของอนุกรมฟูรีเย

การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง

สำหรับการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ ค่าสัญญาณในทั้งสองโดเมนจำเป็นต้องมีค่าเป็นดิจิทัล ซึ่งคือฟังก์ชันค่าไม่ต่อเนื่อง $x[n]$ บนโดเมนไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นโดเมนต่อเนื่อง ในช่วงจำกัด หรือ เป็นคาบ ในกรณีนี้เราจะใช้ การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง (discrete Fourier transform-DFT) ซึ่งเขียนแทน $x[n]$ ด้วยผลบวกของฟังก์ชันคาบ

$x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{2\pi ink/N}\quad \quad n=0,\dots ,N-1$

โดยที่ $X[k]$ คือ ค่าขนาดบนโดเมนการแปลง การคำนวณจากสมการข้างต้นจะใช้ความซับซ้อนในการคำนวณ O (N²) ซึ่งสามารถลดลงเหลือเพียง O (N log N) โดยการใช้ขั้นตอนวิธี การแปลงฟูรีเยอย่างเร็ว (fast Fourier transform-FFT)

รูปแบบอื่นๆ

DFT เป็นกรณีที่เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบนทั้งสองโดเมน ซึ่งบางครั้งใช้ในการประมาณค่าของ การแปลงฟูรีเยเวลาไม่ต่อเนื่อง (discrete-time Fourier transform-DTFT) ซึ่ง $x[n]$ เป็นค่าไม่ต่อเนื่องบนโดเมนที่ไม่จำกัด ดังนั้นจึงมีสเปกตรัมเป็นค่าต่อเนื่อง และเป็นคาบ DTFTเป็นความสัมพันธ์ตรงข้ามกับ อนุกรมฟูรีเย

การแปลงฟูรีเย สามารถขยายความการแปลงบน อาบีเลียน โทโพโลยีกรุ๊ปใดๆ ที่คอมแพคเฉพาะที่ (locally compact abelian topological group) เป็นการแปลงจากกรุ๊ปหนึ่งไปยังกรุ๊ปคู่ของมัน ซึ่งเป็นหัวข้อใน การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก (harmonic analysis) ภายใต้การขยายความนี้ทำให้สามารถ สร้างความสัมพันธ์ทั่วไปของ ทฤษฎีการคอนโวลูชัน (en:convolution theorem) ซึ่งเป็นทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่าง การแปลงฟูรีเย และ การคอนโวลูชัน ดู ความเป็นคู่ของพอนเทรียกิน (en:Pontryagin duality) สำหรับพื้นฐานภาคขยายความของการแปลงฟูรีเย

นอกจากนั้นแล้ว ยังมีภาคขยายเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลความถี่ ณ.จุดเวลาใดๆ คือ การแปลง เวลา-ความถี่ (Time-frequency transform) เช่น การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น (short-time Fourier transform) การแปลงเวฟเลท (wavelet transform) การแปลงเชิพเลท (chirplet transform) และ การแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม (fractional Fourier transform) เป็นการแปลงซึ่งมีจุดมุ่งหมายในการคำนวณ ข้อมูลความถี่ ของสัญญาณ ในรูปฟังก์ชันของเวลา ความสามารถในการคำนวณหาข้อมูลบนทั้งโดเมนเวลา และ ความถี่พร้อมๆ กันนั้นจะถูกจำกัดโดย กฎความไม่แน่นอน (uncertainty principle)

การแปลงในตระกูลการแปลงฟูรีเย

ตารางด้านล่างสรุปการแปลงทั้งหมดที่อยู่ในตระกูลเดียวกับการแปลงฟูรีเย จะสังเกตเห็นว่าความต่อเนื่องหรือความไม่ต่อเนื่องในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความเป็นคาบหรือความไม่เป็นคาบในอีกโดเมนหนึ่ง นอกจากนั้นแล้วการมีค่าเป็นจำนวนจริงในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความสมมาตรในอีกโดเมน

การแปลง	เวลา	ความถี่
การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง	ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ	ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ
อนุกรมฟูรีเย	ต่อเนื่อง, เป็นคาบ	ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ
การแปลงฟูรีเยเวลาไม่ต่อเนื่อง	ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ	ต่อเนื่อง, เป็นคาบ
การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง	ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ	ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ

ความโน้มถ่วงเชิงควอนตัม

ทฤษฎีโน้มถ่วงเชิงควอนตัม (อังกฤษ: Quantum Gravity: QG) เป็นทฤษฎีที่พยายามรวม กลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งอธิบายแรงพื้นฐาน สามแรงคือ แรงแม่เหล็กไฟฟ้า แรงนิวเคลียร์แบบเข้ม และแรงนิวเคลียร์แบบอ่อน เข้ากับ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ ซึ่งใช้อธิบายแรงโน้มถ่วง เป้าหมายของทฤษฎีนี้ก็คือ การอธิบายทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในระดับพลังงานสูง และ ทฤษฎีควอนตัมในระดับสเกลใหญ่ภายใต้กฎหนึ่งเดียวเป็นทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง (Theory of Everything: TOE)

ทฤษฎีสตริง

ทฤษฎีสตริง เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สำหรับฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ที่มี บล็อกโครงสร้าง (building blocks) เป็นวัตถุขยายมิติเดียว (สตริง) แทนที่จะเป็นจุดศูนย์มิติ (อนุภาค) ซึ่งเป็นพื้นฐานของแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค นักทฤษฎีสตริงนั้นพยายามที่จะปรับแบบจำลองมาตรฐาน โดยการยกเลิกสมมุติฐานในกลศาสตร์ควอนตัม ที่ว่าอนุภาคนั้นเป็นเหมือนจุด ในการยกเลิกสมมุติฐานดังกล่าว และแทนที่อนุภาคคล้ายจุดด้วยสตริงหรือสาย ทำให้มีความหวังว่าทฤษฎีสตริงจะพัฒนาไปสู่ทฤษฎีสนามโน้มถ่วงควอนตัมที่เข้าใจได้ง่าย นอกจากนี้ทฤษฎีสตริงยังปรากฏว่าสามารถที่จะ "รวม" แรงธรรมชาติที่รู้จักทั้งหมด (แรงโน้มถ่วง, แรงแม่เหล็กไฟฟ้า, แรงอันตรกิริยาแบบอ่อน และแรงอันตรกิริยาแบบเข้ม) โดยการบรรยายด้วยชุดสมการเดียวกัน

ทฤษฎีสตริงถือเป็นทฤษฎีที่อาจเป็นทฤษฎีโน้มถ่วงเชิงควอนตัมที่ถูกต้อง แต่ยังมีทฤษฎีอื่นๆ ที่ถือว่าเป็นคู่แข่ง เช่น ความโน้มถ่วงเชิงควอนตัมแบบลูป (Loop Quantum Gravity:LQG หรือ Quantum General Relativity; QGR), ไดนามิกส์แบบคอสชวลของสามเหลี่ยม (Causual Dynamics Triangulation: CDT), ซูเปอร์กราวิตี(Supergravity) เป็นต้น

19 ตุลาคม 2553 ทฤษฎีสตริงหลายมิติ = จักรวาลคู่ขนาน อธิบายโดยใช้ตรรกะทางคณิตศาสตร์ (logic)

ทฤษฎีสนามควอนตัม

ทฤษฎีสนามควอนตัม (อังกฤษ: Quantum Field Theory หรือ QFT) คือทฤษฎีควอนตัมของสนามพลังงาน หรือ การใช้ทฤษฎีควอนตัมมาใช้กับระบบที่มีอนุภาคจำนวนมาก เพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ทาง อิเล็กโตรไดนามิกส์ (โดยการควอนตัมสนามแม่เหล็กไฟฟ้า) เรียกว่าพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม (Quantum Electrodynamics) ต่อมาได้ขยายกรอบทางทฤษฎีเพื่ออธิบายสนามของแรงนิวเคลียร์แบบอ่อนร่วมด้วย เรียกว่าทฤษฎี อิเล็กโตร-วีก (Electro-Weak Theory) และเป็นพื้นฐานสำหรับการอธิบายแรงนิวเคลียร์แบบเข้มที่เรียกว่า ควอนตัมโครโมไดนามิกส์ (Quantum Chromodynamics) ทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) เป็นกรอบทฤษฎีสำหรับการสร้างแบบจำลองทางกลศาสตร์ควอนตั้มของสนามและระบบหลาย ๆ อย่างของวัตถุ (อยู่ในบริบทของสสารควบแน่น) ระบบทั้งสองซึ่งเป็นตัวแทนของระบบแบบคลาสสิกโดยเป็นจำนวนอนันต์ขององศาอิสระ

สูตรฟิสิกส์เบื้องต้น

ความยาว มวล และเวลามาตรฐาน

เนื่องจากชีวิตประจำวันของเราจะเกี่ยวข้องกับการวัดมาตลอด เช่น ความยาว มวล เวลา เป็นต้นดังนั้นวิธีการวัด และเครื่องมือที่ใช้วัดจะต้องมีมาตรฐานเดียวกัน เพื่อประโยชน์ต่อการสื่อสารระหว่างกัน

ก.ความยาวมาตรฐาน มีหน่วยเป็น เมตร มาตรฐานของความยาวหนึ่งเมตร ซึ่งกำหนดเมื่อเดือนตุลาคม พ. ศ. 2526 กำหนดไว้ว่า

1 เมตร คือระยะทางที่แสงเดินทางในสุญญากาศในช่วงเวลา

วินาที

ตาราง 2.1 ขนาดความยาวบางค่าที่น่าสนใจ

แรงมวลและการเคลื่อนที่

ตัวอย่าง

จากรูป มวล m และ 2m วางห่างกันเป็นระยะ r₁ และ r₂โดยที่ r₁ เท่ากับ r และ r₂ เท่ากับ 2r จงคำนวณแรงที่กระทำกับมวล m ทั้งนี้การทดลองนี้อยู่นอกสนามความโน้มถ่วงของมวลใดๆ
ทั้งสิ้น

วิธีทำ

ให้ F1 และF2 เป็นแรงดึงดูดระหว่างมวน m และ 2m ดังรูป ขนาดของแรง F1 และ F2 สามารถคำนวณได้จากสมการ (7-3 ) ดังนี้

ฟิสิกส์

วันจันทร์ที่ 7 พฤศจิกายน พ.ศ. 2559